Apollonian Gasket- ը ֆրակտալ պատկերի մի տեսակ է, որը ձևավորվում է մեկ մեծ շրջանակի մեջ պարունակվող մշտապես փոքրանող շրջանակների հավաքածուից: Ապոլոնյան միջադիրի յուրաքանչյուր շրջան շոշափվում է հարակից շրջանների նկատմամբ. Այլ կերպ ասած, Ապոլոնյան միջադիրի շրջանակները կապ են հաստատում անսահման փոքր կետերի հետ: Անվանված հույն մաթեմատիկոս Պերգայի Ապոլոնիոս անունով ՝ այս տեսակի ֆրակտալը կարելի է (ձեռքով կամ համակարգչով) քաշել բարդության ողջամիտ աստիճանի ՝ ձևավորելով գեղեցիկ, տպավորիչ պատկեր: Սկսելու համար տե՛ս ստորև բերված Քայլ 1 -ը:
Քայլեր
2 -րդ մաս 1. Հասկացեք հիմնական հասկացությունները
Որպեսզի կատարյալ պարզ լինի, եթե դուք պարզապես հետաքրքրված եք Ապոլոնյան միջադիր նկարելով, էական չէ ֆրակտալի հետևում գտնվող մաթեմատիկական սկզբունքների ուսումնասիրությունը: Այնուամենայնիվ, եթե ցանկանում եք ավելի խորը պատկերացում ունենալ Ապոլոնյան միջադիրների մասին, կարևոր է հասկանալ մի քանի հասկացությունների սահմանումները, որոնք մենք կօգտագործենք դրանք քննարկելիս:
Քայլ 1. Սահմանեք հիմնական տերմինները:
Ստորև բերված ցուցումներում օգտագործվում են հետևյալ տերմինները.
- Ապոլոնյան միջադիր. Ֆրակտալ տեսակի մի քանի անուններից մեկը, որը բաղկացած է մի շարք օղակներից, որոնք տեղադրված են մեկ մեծ շրջանակի ներսում և շոշափելի են մոտակայքում գտնվող բոլոր շրջանակներին: Դրանք կոչվում են նաև «Կեղտոտ շրջանակներ» կամ «Համբուրվող շրջանակներ»:
- Շրջանի շառավիղ. Հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնական կետից մինչև նրա ծայրը: Սովորաբար նշանակվում է r փոփոխականը:
- Շրջանի կորություն. Շառավիղի դրական կամ բացասական հակադարձ կամ ± 1/ռ: Շրջանի արտաքին կորության հետ գործ ունենալիս կորությունը դրական է, իսկ ներքին թեքության համար `բացասական:
- Տանգենտ. Տերմին, որը կիրառվում է տողերի, հարթությունների և ձևերի նկատմամբ, որոնք հատվում են մեկ անսահման փոքր կետում: Apollonian Gaskets- ում դա վերաբերում է այն փաստին, որ յուրաքանչյուր շրջան դիպչում է յուրաքանչյուր մոտակա շրջանակի միայն մեկ կետում: Նկատի ունեցեք, որ խաչմերուկ չկա - շոշափելի ձևերը չեն համընկնում:
Քայլ 2. Հասկացեք Դեկարտի թեորեմը:
Դեկարտի թեորեմը բանաձև է, որն օգտակար է Ապոլոնյան միջադիրի շրջանակների չափերը հաշվարկելու համար: Եթե յուրաքանչյուր երեք շրջանների կորեր (1/r) համապատասխանաբար սահմանենք որպես a, b և c, ապա թեորեմը նշում է, որ բոլոր երեքի շոշափող շրջանակի (կամ շրջանակների) կորությունը, որը մենք կսահմանենք որպես d,: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Մեր նպատակների համար մենք հիմնականում կօգտագործենք միայն ստացված պատասխանը ՝ քառակուսի արմատի դիմաց գումարած նշան դնելով (այլ կերպ ասած,… + 2 (քառակուսի (…)): Առայժմ բավական է իմանալ, որ հանումը հավասարման ձևն իր կիրառությունն ունի այլ հարակից առաջադրանքներում:
2 -րդ մաս 2 -ից. Ապոլոնյան միջադիրի կառուցում
Apollonian Gaskets- ն ունի նեղացող շրջանակների գեղեցիկ ֆրակտալ դասավորությունների տեսք: Մաթեմատիկական առումով, Ապոլոնյան միջադիրներն ունեն անսահման բարդություն, սակայն, անկախ համակարգչային գծագրման ծրագրից կամ նկարչության ավանդական գործիքներից, ի վերջո կհասնեք մի կետի, որի դեպքում անհնար է ավելի փոքր շրջանակներ գծել: Նկատի ունեցեք, որ որքան ավելի ճշգրիտ գծեք ձեր շրջանակները, այնքան ավելի շատ կկարողանաք տեղավորվել ձեր միջադիրում:
Քայլ 1. Հավաքեք ձեր թվային կամ անալոգային գծագրման գործիքները:
Ստորև բերված քայլերում մենք պատրաստելու ենք մեր սեփական պարզ Apollonian Gasket- ը: Հնարավոր է նկարել Apollonian Gaskets ձեռքով կամ համակարգչով: Երկու դեպքում էլ դուք կցանկանաք, որ կարողանաք կատարելապես կլոր շրջանակներ գծել: Սա բավականին կարևոր է: Քանի որ Apollonian Gasket- ի յուրաքանչյուր շրջանակը կատարյալ շոշափելի է կողքի շրջանակներին, այն շրջանակները, որոնք նույնիսկ փոքր -ինչ սխալ են ձևավորված, կարող են «շպրտել» ձեր վերջնական արտադրանքը:
- Եթե միջադիրը համակարգչի վրա եք գծում, ձեզ հարկավոր կլինի ծրագիր, որը թույլ է տալիս կենտրոնական կետից հեշտությամբ նկարել ֆիքսված շառավղով շրջանակներ: Gfig- ը, GIMP- ի պատկերի խմբագրման անվճար ծրագրի վեկտորային գծագրման ընդլայնումը, կարող է օգտագործվել, ինչպես նաև նկարչական այլ ծրագրերի լայն տեսականի (տե՛ս նյութերի բաժինը համապատասխան հղումների համար): Հավանաբար ձեզ նույնպես անհրաժեշտ կլինի հաշվիչ ծրագիր և կամ տեքստային մշակող փաստաթուղթ, կամ ֆիզիկական նոթատետր `կորերի և շառավիղների վրա նշումներ կատարելու համար:
- Փամփուշտը ձեռքով նկարելու համար ձեզ հարկավոր է հաշվիչ (առաջարկվող գիտական կամ գրաֆիկական), մատիտ, կողմնացույց, քանոն (գերադասելի է միլիմետր նշաններով սանդղակ, գրաֆիկական թուղթ և գրառման գրքույկ նշումների համար):
Քայլ 2. Սկսեք մեկ մեծ շրջանակից:
Ձեր առաջին խնդիրը հեշտ է. Պարզապես գծեք մեկ մեծ, կատարյալ կլոր շրջան: Որքան մեծ է շրջանակը, այնքան ավելի բարդ կարող է լինել ձեր միջադիրը, ուստի փորձեք կազմել այնքան մեծ շրջանակ, որքան թույլ է տալիս ձեր թուղթը կամ այնքան մեծ, որքան կարող եք հեշտությամբ տեսնել ձեր նկարչական ծրագրի մեկ պատուհանում:
Քայլ 3. Ստեղծեք ավելի փոքր շրջանակ բնագրի ներսում ՝ շոշափված մի կողմից:
Հաջորդը, առաջինի ներսում նկարեք մեկ այլ շրջան, որը փոքր է բնօրինակից, բայց դեռ բավականին մեծ է: Երկրորդ շրջանի ճշգրիտ չափը կախված է ձեզանից `ճիշտ չափ չկա: Այնուամենայնիվ, մեր նպատակների համար եկեք գծենք մեր երկրորդ շրջանը այնպես, որ այն հասնի մեր արտաքին մեծ շրջանակի ուղիղ կեսին: Այլ կերպ ասած, եկեք գծենք մեր երկրորդ շրջանն այնպես, որ նրա կենտրոնական կետը լինի մեծ շրջանակի շառավիղի միջնակետը:
Հիշեք, որ Apollonian Gaskets- ում բոլոր շրջանակները, որոնք դիպչում են միմյանց, շոշափելի են: Եթե կողմնացույց եք օգտագործում ՝ ձեր շրջանակները ձեռքով գծելու համար, վերստեղծեք այս էֆեկտը ՝ կողմնացույցի կտրուկ կետը դնելով արտաքին մեծ շրջանակի շառավիղի միջին հատվածում ՝ մատիտը հարմարեցնելով այնպես, որ այն դիպչի մեծ շրջանակի եզրին, այնուհետև գծեք ձեր փոքր ներքին շրջանակը:
Քայլ 4. Նկարեք միևնույն շրջան ՝ ավելի փոքր ներքին շրջանակի «դիմաց»:
Հաջորդը, եկեք մեկ այլ շրջանակ գծենք մեր առաջինի դիմաց: Այս շրջանակը պետք է շոշափելի լինի ինչպես արտաքին մեծ շրջանակի, այնպես էլ փոքր ներքին շրջանակի հետ, ինչը նշանակում է, որ ձեր երկու ներքին շրջանակները դիպչելու են արտաքին արտաքին մեծ շրջանակի ճշգրիտ միջին կետին:
Քայլ 5. Կիրառեք Դեկարտի թեորեմը `ձեր հաջորդ օղակների չափը գտնելու համար:
Եկեք մի պահ դադարենք գծել: Այժմ, երբ մեր շրջանակի մեջ կա երեք շրջան, կարող ենք օգտագործել Դեկարտի թեորեմը `գտնելու մեր հաջորդ գծի շառավիղը: Հիշեք, որ Դեկարտի թեորեմն է d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), որտեղ a, b և c են ձեր երեք շոշափելի շրջանակների կորությունները, իսկ d- ը ՝ երեքի շոշափող շրջանագծի կորերը: Այսպիսով, մեր հաջորդ շրջանագծի շառավիղը գտնելու համար, եկեք գտնենք մինչ այժմ եղած օղակներից յուրաքանչյուրի կորությունը, որպեսզի կարողանանք գտնել հաջորդ օղակի կորությունը, այնուհետև սա վերածել նրա շառավղի:
-
Եկեք մեր արտաքին շրջանակի շառավիղը սահմանենք որպես
Քայլ 1.. Քանի որ մյուս շրջանակները գտնվում են այս շրջանակի ներսում, մենք գործ ունենք դրա ներքին կորության հետ (այլ ոչ թե արտաքին կորության), և, հետևաբար, մենք գիտենք, որ նրա կորությունը բացասական է: -1/r = -1/1 = -1: Մեծ շրջանակի կորությունը - 1.
-
Փոքր շրջանակների շառավիղները մեծի կեսի չափ մեծ են, կամ, այլ կերպ ասած, 1/2: Քանի որ այս շրջանակները դիպչում են միմյանց և մեծ շրջանակին ՝ իրենց արտաքին եզրով, մենք գործ ունենք նրանց արտաքին կորության հետ, ուստի նրանց կորերը դրական են: 1/(1/2) = 2. Փոքր շրջանակների կորերը երկուսն են
Քայլ 2..
-
Այժմ մենք գիտենք, որ a = -1, b = 2, և c = 2 մեր Դեկարտի թեորեմային հավասարման համար: Եկեք լուծենք d- ի համար.
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 2 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Մեր հաջորդ շրջանագծի կորությունն է
Քայլ 3.. Քանի որ 3 = 1/r, մեր հաջորդ շրջանի շառավիղն է 1/3.
Քայլ 6. Ստեղծեք ձեր հաջորդ շրջանակների շրջանակը:
Օգտագործեք ձեր գտած շառավիղի արժեքը ՝ ձեր հաջորդ երկու շրջանակները գծելու համար: Հիշեք, որ դրանք շոշափելի կլինեն այն շրջանակների նկատմամբ, որոնց կորերը դուք օգտագործել եք a, b և c- ի համար Դեկարտի թեորեմում: Այլ կերպ ասած, դրանք շոշափելի կլինեն ինչպես սկզբնական, այնպես էլ երկրորդ շրջանակներին: Որպեսզի այս շրջանակները շոշափելի լինեն բոլոր երեք շրջաններին, ձեզ հարկավոր է դրանք նկարել ձեր մեծ սկզբնական շրջանակի ներսում գտնվող տարածքի վերևի և ներքևի բաց տարածքներում:
Հիշեք, որ այս շրջանակների ճառագայթները հավասար կլինեն 1/3 -ին: Չափեք 1/3 արտաքին շրջանագծի եզրից հետ, ապա գծեք ձեր նոր շրջանակը: Այն պետք է շոշափելի լինի շրջապատող բոլոր երեք շրջանակների համար:
Քայլ 7. Շարունակեք այս կերպ ՝ շարունակելով շրջանակներ ավելացնել:
Քանի որ դրանք ֆրակտալներ են, Apollonian Gaskets- ը անսահման բարդ է: Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք ավելի փոքր ու փոքր շրջանակներ ավելացնել ձեր սրտի բովանդակությանը: Դուք սահմանափակված եք միայն ձեր գործիքների ճշգրտությամբ (կամ, եթե համակարգիչ եք օգտագործում, ձեր նկարչական ծրագրի «մեծացնելու» ունակությունը): Յուրաքանչյուր շրջան, որքան էլ փոքր լինի, պետք է շոշափելի լինի երեք այլ շրջանակների նկատմամբ: Ձեր միջադիրում յուրաքանչյուր հաջորդ շրջան նկարելու համար միացրեք երեք շրջանակների կորությունները, որոնցով դրանք շոշափելի կլինեն Դեկարտի թեորեմի մեջ: Այնուհետև օգտագործեք ձեր պատասխանը (որը կլինի ձեր նոր շրջանի շառավիղը) ՝ ձեր նոր շրջանակը ճշգրիտ գծելու համար:
- Նկատի ունեցեք, որ միջադիրը, որը մենք ընտրել ենք նկարելու համար, սիմետրիկ է, ուստի մեկ շրջանագծի շառավիղը նույնն է, ինչ «դրա դիմաց» համապատասխան շրջանակը: Այնուամենայնիվ, իմացեք, որ ամեն Ապոլոնյան միջադիրը սիմետրիկ չէ:
-
Եկեք անդրադառնանք ևս մեկ օրինակի: Ասենք, որ մեր շրջանակների վերջին հավաքածուն նկարելուց հետո մենք այժմ ցանկանում ենք գծել այն շրջանակները, որոնք շոշափելի են մեր երրորդ հավաքածուի, մեր երկրորդ բազմության և մեր արտաքին մեծ շրջանակի վրա: Այս շրջանակների կորությունները համապատասխանաբար 3, 2 և -1 են: Եկեք այս թվերը միացնենք Դեկարտի թեորեմին ՝ սահմանելով a = -1, b = 2 և c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 2 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Մենք ունենք երկու պատասխան: Այնուամենայնիվ, քանի որ մենք գիտենք, որ մեր նոր շրջանակը լինելու է ավելի փոքր, քան այն շոշափելի շրջանակներից, միայն մի կորություն
Քայլ 6. (և, հետևաբար, շառավղով 1/6) իմաստ արտահայտել.
- Մեր մյուս պատասխանը ՝ 2, իրականում վերաբերում է մեր երկրորդ և երրորդ շրջանակների շոշափելիքի մյուս կողմում գտնվող հիպոթետիկ շրջանին: Այս շրջանակը է շոշափելի է այս երկու շրջանակներին և արտաքին մեծ շրջանին, բայց դա կհատկացնի այն գծերը, որոնք մենք արդեն գծել ենք, այնպես որ կարող ենք անտեսել այն:
Քայլ 8. Որպես մարտահրավեր, փորձեք պատրաստել ոչ սիմետրիկ Ապոլոնյան միջադիր ՝ փոխելով ձեր երկրորդ շրջանի չափը:
Բոլոր Apollonian Gaskets- ը սկսում են նույնը `արտաքին մեծ շրջանակով, որը գործում է որպես ֆրակտալի եզր: Այնուամենայնիվ, ոչ մի պատճառ չկա, որ ձեր երկրորդ շրջանը պարտադիր պետք է ունենա առաջինի շառավիղը 1/2 - մենք պարզապես ընտրեցինք դա անել վերևում, քանի որ դա պարզ և հեշտ է հասկանալ: Funվարճության համար փորձեք սկսել նոր միջադիր ՝ այլ չափի երկրորդ շրջանակով, ինչը կհանգեցնի հետախուզման հետաքրքիր նոր ճանապարհների:
