Ռացիոնալ ֆունկցիան այն հավասարումն է, որն ընդունում է y = N (x)/D (x) ձևը, որտեղ N և D- ը բազմանդամ են: Ձեռքով ճշգրիտ գրաֆիկի ուրվագծման փորձը կարող է լինել ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի շատ կարևոր թեմաների համապարփակ ակնարկ հիմնական հանրահաշվից մինչև դիֆերենցիալ հաշվարկ: Մտածեք հետևյալ օրինակի մասին. Y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2):
Քայլեր
Քայլ 1. Գտեք y ընդհատումը:
Պարզապես սահմանեք x = 0. Ամեն ինչ, բացի հաստատուն պայմաններից, անհետանում են ՝ թողնելով y = 5/2: Սա որպես կոորդինատային զույգ արտահայտելը (0, 5/2) կետ է գրաֆիկի վրա: Գծագրիր այդ կետը:
Քայլ 2. Գտեք հորիզոնական ասիմպտոտը:
Երկար բաժանարարը բաժանիր համարիչի `x- ի մեծ բացարձակ արժեքների համար y- ի վարքագիծը որոշելու համար: Այս օրինակում բաժանումը ցույց է տալիս, որ y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4): X- ի մեծ դրական կամ բացասական արժեքների դեպքում 17/(8 x + 4) մոտենում է զրոյի, իսկ գրաֆիկը մոտեցնում է y = (1/2) x - (7/4) տողին: Օգտագործելով գծանշված կամ թույլ գծված գիծ, գծեք այս տողը:
- Եթե համարիչի աստիճանը փոքր է հայտարարի աստիճանից, ապա անելու բաժանում չկա, և ասիմպտոտը y = 0 է:
- Եթե deg (N) = deg (D), ապա ասիմպտոտը հորիզոնական գիծ է `առաջատար գործակիցների հարաբերակցությամբ:
- Եթե deg (N) = deg (D) + 1, ապա ասիմպտոտը այն գիծն է, որի թեքությունը առաջատար գործակիցների հարաբերակցությունն է:
- Եթե deg (N)> deg (D) + 1, ապա | մեծ արժեքների դեպքում | x |, y- ն արագորեն անցնում է դրական կամ բացասական անվերջության ՝ որպես քառակուսի, խորանարդ կամ ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամ: Այս դեպքում, հավանաբար, չարժե ճշգրիտ գծագրել բաժանման գործակիցը:
Քայլ 3. Գտեք զրոները:
Ռացիոնալ ֆունկցիան ունի զրո, երբ համարիչը զրո է, ուստի սահմանեք N (x) = 0. Օրինակում ՝ 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Այս քառանկյունի խտրականը b է 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4: Քանի որ խտրականը բացասական է, N (x), և, հետևաբար, f (x), իրական արմատներ չունի: Գրաֆիկը երբեք չի հատում x- առանցքը: Եթե զրոներ են հայտնաբերվել, այդ կետերը ավելացրեք գրաֆիկին:
Քայլ 4. Գտեք ուղղահայաց ասիմպտոտները:
Ուղղահայաց ասիմպտոտը տեղի է ունենում, երբ հայտարարը զրո է: 4 x + 2 = 0 պարամետրը տալիս է x = -1/2 ուղղահայաց գիծը: Գծագրեք յուրաքանչյուր ուղղահայաց ասիմպտոտ ՝ թեթև կամ կտրված գծով: Եթե x- ի որոշ արժեքներ դարձնում են N (x) = 0 և D (x) = 0, այնտեղ կարող է լինել կամ չլինել ուղղահայաց ասիմպտոտ: Սա հազվադեպ է, բայց տեսեք խորհուրդները, թե ինչպես վարվել դրա հետ, եթե դա տեղի ունենա:
Քայլ 5. Բաժանման մնացորդին նայեք 2 -րդ քայլում:
Ե՞րբ է դա դրական, բացասական կամ զրո: Օրինակում մնացորդի համարիչը 17 է, որը միշտ դրական է: 4 x + 2 հայտարարը դրական է ուղղահայաց ասիմպտոտից աջ, իսկ ձախից ՝ բացասական: Սա նշանակում է, որ գրաֆիկը վերը նշվածից մոտենում է x- ի մեծ դրական և ներքևից `x- ի մեծ բացասական արժեքների գծային ասիմպտոտին: Քանի որ 17/(8 x + 4) երբեք չի կարող զրո լինել, այս գրաֆիկը երբեք չի հատում y = (1/2) x - (7/4) տողը: Ոչինչ մի ավելացրեք գրաֆիկին հենց հիմա, այլ նշեք այս եզրակացությունները հետագայում:
Քայլ 6. Գտեք տեղական էքստրեմա:
Տեղական ծայրահեղություն կարող է առաջանալ, երբ N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Օրինակում `N '(x) = 4 x - 6 և D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Ընդլայնել, միավորել տերմինները և բաժանել 4 տերևների x- ով 2 + x - 4 = 0. Քառակուսի բանաձևը ցույց է տալիս արմատներ x = 3/2 և x = -5/2 մոտ: (Սրանք տարբերվում են ճշգրիտ արժեքներից մոտ 0,06 -ով, բայց մեր գրաֆիկը այնքան էլ ճշգրիտ չի լինի, որ անհանգստանա մանրամասների այդ մակարդակով: Արժանապատիվ ռացիոնալ մոտարկման ընտրությունը հաջորդ քայլն ավելի դյուրին կդարձնի):
Քայլ 7. Գտեք յուրաքանչյուր տեղական ծայրահեղության y- արժեքները:
Միացրեք նախորդ քայլից x- արժեքները հետ `սկզբնական ռացիոնալ ֆունկցիայի մեջ` համապատասխան y- արժեքները գտնելու համար: Օրինակում f (3/2) = 1/16 և f (-5/2) = -65/16: Գրաֆիկին ավելացրեք այս կետերը (3/2, 1/16) և (-5/2, -65/16): Քանի որ մենք մոտենում էինք նախորդ քայլին, դրանք ճշգրիտ նվազագույններն ու առավելագույնները չեն, բայց հավանաբար մոտ են: (Մենք գիտենք (3/2, 1/16) շատ մոտ է տեղական նվազագույնին: 3 -րդ քայլից մենք գիտենք, որ y միշտ դրական է, երբ x> -1/2, և մենք գտել ենք 1/16 -ի չափ փոքր արժեք, գոնե այս դեպքում սխալը, հավանաբար, ավելի փոքր է, քան գծի հաստությունը):
Քայլ 8. Միացրեք կետերը և սահուն տարածեք գրաֆիկը հայտնի կետերից մինչև ասիմպտոտները `հոգալով դրանց ճիշտ ուղղությամբ մոտենալը:
Careգույշ եղեք, որ x- առանցքը չանցնեք, բացառությամբ այն կետերի, որոնք արդեն հայտնաբերվել են 3 -րդ քայլում: Մի հատեք հորիզոնական կամ գծային ասիմպտոտը, բացառությամբ այն կետերի, որոնք արդեն հայտնաբերվել են 5 -րդ քայլում: Մի փոխվեք վերընթաց թեքությունից դեպի ներքև, բացառությամբ ծայրահեղությունը, որը հայտնաբերվել է նախորդ քայլում:
Տեսանյութ - Այս ծառայությունից օգտվելով ՝ որոշ տեղեկություններ կարող են կիսվել YouTube- ի հետ:
Խորհուրդներ
- Այս քայլերից մի քանիսը կարող են ներառել բարձր աստիճանի բազմանդամ լուծում: Եթե դուք չեք կարող ճշգրիտ լուծումներ գտնել գործոնավորման, բանաձևերի կամ այլ միջոցների միջոցով, ապա գնահատեք լուծումները `օգտագործելով թվային տեխնիկա, ինչպիսին է Նյուտոնի մեթոդը:
- Եթե դուք հետևում եք քայլերին հերթականությամբ, սովորաբար անհրաժեշտ չէ օգտագործել երկրորդ ածանցյալ թեստեր կամ նմանատիպ պոտենցիալ բարդ մեթոդներ `որոշելու համար, թե արդյոք կրիտիկական արժեքները տեղական առավելագույնն են, տեղական նվազագույնը, թե ոչ մեկը: Փորձեք օգտագործել նախորդ քայլերի տեղեկատվությունը և նախ մի փոքր տրամաբանություն:
- Եթե դուք փորձում եք դա անել միայն նախալկուլուսային մեթոդներով, կարող եք փոխարինել տեղային էքստրեմա գտնելու քայլերը `յուրաքանչյուր զույգ ասիմպտոտների միջև հաշվարկելով մի քանի լրացուցիչ (x, y) կարգավորված զույգեր: Այլապես, եթե ձեզ չի հետաքրքրում, թե ինչու է այն աշխատում, ոչ մի պատճառ չկա, որ նախալկուլուս ուսանողը չկարողանա վերցնել բազմանդամի ածանցյալը և լուծել N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0
-
Հազվագյուտ դեպքերում համարիչը և հայտարարը կարող են ունենալ ընդհանուր ոչ հաստատուն գործոն: Եթե դուք հետևում եք քայլերին, դա նույն տեղում կցուցադրվի որպես զրո և ուղղահայաց ասիմպտոտ: Դա անհնար է, և այն, ինչ իրականում տեղի է ունենում, հետևյալներից մեկն է.
- N (x) - ում զրոյը D (x) - ում զրոյից ավելի մեծ բազմազանություն ունի: F (x) - ի գրաֆիկը այս պահին մոտենում է զրոյի, բայց այնտեղ անորոշ է: Նշեք դա կետի շուրջ բաց շրջանով:
- N (x) - ում զրոյը և D (x) - ում զրոյը հավասար բազմազանություն ունեն: Գրաֆիկը մոտենում է x- ի այս արժեքի ոչ զրոյական կետին, բայց այնտեղ անորոշ է: Կրկին նշեք սա բաց շրջանով:
- N (x) - ում զրոյը D (x) - ում զրոյից ցածր բազմազանություն ունի: Այստեղ կա ուղղահայաց ասիմպտոտ:
