Ինչպես գծել քառակուսի հավասարումը. 10 քայլ (նկարներով)

2024 Հեղինակ: Robert Blare | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-02-02 02:07

Գրաֆիկացվելիս ՝ ձևի քառակուսի հավասարումներ կացին² + բ x + գ կամ ա (x - h)² + կ տալ հարթ U- կամ հակառակ U- կոր կոր, որը կոչվում է պարաբոլա: Քառակուսի հավասարման գրաֆիկը նրա գագաթը, ուղղությունը և, հաճախ, x և y հատումները գտնելու հարց է: Համեմատաբար պարզ քառակուսային հավասարումների դեպքում կարող է նաև բավական լինել միացնել x արժեքների մի շարք և ստացված կետերի հիման վրա գծել կորը: Սկսելու համար տե՛ս ստորև բերված Քայլ 1 -ը:

Քայլեր

Քայլ 1. Որոշեք, թե որ քառակուսի հավասարման որ ձևն ունեք:

Քառակուսի հավասարումը կարող է գրվել երեք տարբեր ձևերով ՝ ստանդարտ ձև, գագաթնակետ և քառակուսի ձև: Դուք կարող եք օգտագործել ցանկացած ձև ՝ քառակուսային հավասարումը գրաֆիկացնելու համար. յուրաքանչյուրի գծագրման գործընթացը փոքր -ինչ տարբերվում է: Եթե տնային աշխատանք եք կատարում, սովորաբար խնդիրը կստանաք այս երկու ձևերից մեկով, այլ կերպ ասած ՝ չեք կարողանա ընտրել, ուստի ավելի լավ է երկուսն էլ հասկանալ: Քառակուսի հավասարման երկու ձևերն են.

• Ստանդարտ ձև:

  Այս տեսքով քառակուսային հավասարումը գրվում է այսպես ՝ f (x) = ax² + bx + c, որտեղ a, b և c իրական թվեր են, իսկ a- ն հավասար չէ զրոյի:

  Օրինակ, քառակուսային երկու ստանդարտ ձևի հավասարումներ են f (x) = x² + 2x + 1 և f (x) = 9x² + 10x -8

• Vertex ձեւ:

  Այս ձևով քառակուսային հավասարումը գրվում է հետևյալ կերպ. F (x) = a (x - h)² + k, որտեղ a, h և k իրական թվեր են, իսկ a- ն հավասար չէ զրոյի: Vertex ձևը այսպես է կոչվում, քանի որ h և k- ն ուղղակիորեն տալիս են ձեր պարաբոլայի գագաթը (կենտրոնական կետը) կետում (h, k):

  Երկու գագաթային ձևի հավասարումներ են f (x) = 9 (x - 4)² + 18 և -3 (x - 5)² + 1

• Այս տիպի հավասարումներից որևէ մեկը գծագրելու համար մենք պետք է նախ գտնենք պարաբոլայի գագաթը, որը կորի «ծայրում» կենտրոնական կետն է (h, k): Ստանդարտ ձևով գագաթի կոորդինատները տրված են ՝ h = -b/2a և k = f (h), իսկ գագաթային տեսքով ՝ h և k- ն նշված են հավասարման մեջ:

Քայլ 2. Սահմանեք ձեր փոփոխականները:

Քառակուսային խնդիր լուծելու համար սովորաբար պետք է սահմանել a, b և c (կամ a, h և k) փոփոխականները: Միջին հանրահաշվի խնդիրը ձեզ կտա քառակուսային հավասարում `լրացված փոփոխականներով, սովորաբար ստանդարտ, բայց երբեմն գագաթային տեսքով:

• Օրինակ, ստանդարտ ձևի համար f (x) = 2x հավասարումը² + 16x + 39, մենք ունենք a = 2, b = 16, և c = 39:
• Գագաթնակետի համար հավասարման f (x) = 4 (x - 5)² + 12, մենք ունենք a = 4, h = 5, և k = 12:

Քայլ 3. Հաշվիր ժ

Գագաթային ձևի հավասարումներում h- ի ձեր արժեքը արդեն տրված է, բայց ստանդարտ ձևի հավասարումներում այն պետք է հաշվարկվի: Հիշեք, որ ստանդարտ ձևի հավասարումների դեպքում h = -b/2a:

• Մեր ստանդարտ ձևի օրինակով (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2): Լուծելով ՝ գտնում ենք, որ h = - 4.
• Մեր գագաթային ձևի օրինակ (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), մենք գիտենք h = 5 առանց որևէ մաթեմատիկա կատարելու:

Քայլ 4. Հաշվիր կ

Ինչպես h- ի դեպքում, k- ն արդեն հայտնի է գագաթային հավասարումների մեջ: Ստանդարտ ձևի հավասարումների համար հիշեք, որ k = f (h): Այլ կերպ ասած, դուք կարող եք գտնել k- ն ՝ ձեր հավասարման մեջ x- ի յուրաքանչյուր օրինակ փոխարինելով h- ի համար պարզապես գտած արժեքով:

• Մենք մեր ստանդարտ ձևի օրինակով որոշել ենք, որ h = -4: K գտնելու համար մենք լուծում ենք մեր հավասարումը x- ով փոխարինող մեր արժեքով.

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39:

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Քայլ 7.

• Մեր գագաթային ձևի օրինակով մենք կրկին գիտենք k- ի արժեքը (որը 12 է) ՝ առանց որևէ մաթեմատիկա անելու:

Քայլ 5. Պատկերացրեք ձեր գագաթը:

Ձեր պարաբոլայի գագաթը կլինի կետը (h, k) - h- ը սահմանում է x կոորդինատը, իսկ k- ն `y կոորդինատը: Գագաթը ձեր պարաբոլայի կենտրոնական կետն է `կամ« U » - ի ներքևում, կամ գլխիվայր շրջված« U » - ի վերևում: Գագաթի իմացությունը ճշգրիտ պարաբոլայի գծագրման էական մասն է. Հաճախ, դպրոցական աշխատանքներում, գագաթը նշելը կլինի հարցի պարտադիր մասը:

• Մեր ստանդարտ ձևի օրինակում մեր գագաթը կլինի (-4, 7): Այսպիսով, մեր պարաբոլան կհասնի գագաթնակետին 4 տեղ 0 -ի ձախից և 7 -ից բարձր տարածություններից (0, 0): Այս կետը մենք պետք է գծագրենք մեր գրաֆիկի վրա ՝ վստահ լինելով, որ նշենք կոորդինատները:
• Մեր գագաթային ձևի օրինակում մեր գագաթը գտնվում է (5, 12) -ում: Մենք պետք է գծենք 5 կետ դեպի աջ և 12 բացատ վերևում (0, 0):

Քայլ 6. Նկարեք պարաբոլայի առանցքը (ըստ ցանկության):

Պարաբոլայի համաչափության առանցքն այն միջնագծով անցնող գիծն է, որն այն հիանալի կիսում է կիսով չափ: Այս առանցքի վրայով պարաբոլայի ձախ կողմը հայելու է աջ կողմը: Կացին ձևի քառակուսիների համար² + bx + c կամ a (x - h)² + k, առանցքը y- առանցքին զուգահեռ ուղիղ է (այլ կերպ ասած ՝ կատարյալ ուղղահայաց) և անցնում է գագաթով:

Մեր ստանդարտ ձևի օրինակի դեպքում առանցքը y- առանցքին զուգահեռ ուղիղ է և անցնում է կետով (-4, 7): Թեև դա ինքնին պարաբոլայի մաս չէ, բայց այս գծի թեթև նշումը ձեր գրաֆիկի վրա, ի վերջո, կարող է օգնել ձեզ տեսնել, թե ինչպես է պարաբոլան սիմետրիկորեն կորանում:

Քայլ 7. Գտեք բացման ուղղությունը:

Պարզելով պարաբոլայի գագաթն ու առանցքը, հաջորդիվ պետք է իմանանք ՝ պարաբոլան բացվում է դեպի վեր, թե ներքև: Բարեբախտաբար, սա հեշտ է: Եթե «ա» –ը դրական է, պարաբոլան կբացվի դեպի վեր, իսկ եթե «ա» –ը բացասական է, պարաբոլան կբացվի ներքև (այսինքն ՝ այն գլխիվայր շրջված կլինի):

• Մեր ստանդարտ ձևի համար օրինակ (f (x) = 2x² + 16x + 39), մենք գիտենք, որ մենք ունենք պարաբոլա, որը բացվում է դեպի վեր, որովհետև մեր հավասարման մեջ a = 2 (դրական):
• Մեր գագաթնակետի համար օրինակ (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), մենք գիտենք, որ մենք ունենք նաև պարաբոլա, որը բացվում է դեպի վեր, քանի որ a = 4 (դրական):

Քայլ 8. Անհրաժեշտության դեպքում գտեք և գծեք x միջադիրներ:

Հաճախ, դպրոցական աշխատանքի ընթացքում ձեզանից կպահանջվի գտնել պարաբոլայի x- միջանցքները (որոնք կամ մեկ կամ երկու կետ են, որտեղ պարաբոլան հանդիպում է x առանցքին): Նույնիսկ եթե դրանք չեք գտնի, այս երկու կետերը կարող են անգնահատելի լինել ճշգրիտ պարաբոլա նկարելու համար: Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր պարաբոլաներն ունեն x- ընդհատումներ: Եթե ձեր պարաբոլան ունի գագաթ, բացվում է դեպի վեր և ունի գագաթնակետ x- ի առանցքից վեր, կամ եթե բացվում է ներքև և ունի գագաթնակետ x- ի առանցքից ներքև, այն չի ունենա որևէ x ընդհատում. Հակառակ դեպքում լուծեք ձեր x միջամտությունները հետևյալ եղանակներից մեկով.

• Պարզապես սահմանեք f (x) = 0 և լուծեք հավասարումը: Այս մեթոդը կարող է աշխատել պարզ քառակուսային հավասարումների համար, հատկապես գագաթային ձևով, բայց չափազանց բարդերի համար չափազանց դժվար կլինի: Տե՛ս ստորև ՝ օրինակի համար

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12: x = 11 և 13 պարաբոլայի x- ընդհատումներն են:

• Գործոնավորիր քո հավասարումը: Որոշ հավասարումներ կացնով² + bx + c ձևը կարելի է հեշտությամբ հաշվի առնել ձևի մեջ (dx + e) (fx + g), որտեղ dx × fx = կացին², (dx × g + fx × e) = bx, և e × g = c Այս դեպքում ձեր x ընդհատումները x- ի արժեքներն են, որոնք փակագծերում կազմում են ցանկացած տերմին = 0. Օրինակ.

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Այս դեպքում ձեր միակ x ընդհատումը -1 է, քանի որ x- ին հավասար -1 -ի սահմանելը փակագծերում գործածվող տերմիններից որևէ մեկը հավասար կլինի 0 -ի:

• Օգտագործեք քառակուսի բանաձևը: Եթե դուք չեք կարող հեշտությամբ լուծել ձեր x ընդհատումները կամ գործոն դնել ձեր հավասարումը, օգտագործեք հատուկ հավասարություն, որը կոչվում է քառակուսի բանաձև, որը նախատեսված է հենց այս նպատակի համար: Եթե դա դեռ չէ, ձեր հավասարումը մտցրեք ձևի կացին² + bx + c, ապա a, b և c միացրեք x = (-b +/- SqRt բանաձևին)² - 4ac))/2a Նկատի ունեցեք, որ սա հաճախ ձեզ տալիս է x- ի երկու պատասխան, ինչը նորմալ է, սա նշանակում է, որ ձեր պարաբոլան ունի երկու x ընդհատում: Տե՛ս ստորև ՝ օրինակ.

  • -5x² + 1x + 10 -ը միանում է քառակուսի բանաձևին հետևյալ կերպ.
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) և (-15.18/-10): Պարաբոլայի x ընդհատումները մոտավորապես x = են - 1.318 եւ 1.518
  • Մեր նախորդ ստանդարտ ձևի օրինակը ՝ 2x² + 16x + 39 -ը միանում է քառակուսի բանաձևին հետևյալ կերպ.
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Քանի որ բացասական թվի քառակուսի արմատ գտնելն անհնար է, մենք դա գիտենք ոչ x ընդհատում գոյություն ունի այս կոնկրետ պարաբոլայի համար:

Քայլ 9. Անհրաժեշտության դեպքում գտեք և գծեք y ընդհատումը:

Թեև հաճախ անհրաժեշտ չէ գտնել հավասարման y ընդհատում (այն կետը, երբ պարաբոլան անցնում է y առանցքով), սակայն, ի վերջո, ձեզանից կպահանջվի, հատկապես, եթե դպրոցում եք: Այս գործընթացը բավականին հեշտ է. Պարզապես սահմանեք x = 0, ապա լուծեք ձեր հավասարումը f (x) կամ y համար, ինչը ձեզ տալիս է y արժեքը, որով ձեր պարաբոլան անցնում է y առանցքով: Ի տարբերություն x միջադիրների, ստանդարտ պարաբոլաները կարող են ունենալ միայն մեկ y ընդհատում: Նշում - ստանդարտ ձևի հավասարումների դեպքում y ընդհատումը y = c է:

• Օրինակ, մենք գիտենք մեր քառակուսի հավասարումը 2x² + 16x + 39 – ը y ընդմիջում ունի y = 39, բայց այն կարելի է գտնել նաև հետևյալ կերպ.

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Պարաբոլայի y ընդհատումը ժամը է y = 39:

    Ինչպես նշվեց վերևում, y ընդհատումը գտնվում է y = c- ում:

• Մեր գագաթը կազմում է հավասարություն 4 (x - 5)² + 12 -ում կա y ընդհատում, որը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Պարաբոլայի y ընդհատումը ժամը է y = 112:

Քայլ 10. Անհրաժեշտության դեպքում գծեք լրացուցիչ կետեր, ապա գծապատկեր:

Այժմ դուք պետք է ունենաք գագաթ, ուղղություն, x ընդհատում (ներ) և, հնարավոր է, y հավասարություն ձեր հավասարման համար: Այս պահին դուք կարող եք կամ փորձել նկարել ձեր պարաբոլան ՝ օգտագործելով ուղեցույց ձեր ունեցած կետերը, կամ կարող եք գտնել ավելի շատ միավոր ՝ ձեր պարաբոլան «լրացնելու» համար, որպեսզի ձեր գծած կորը ավելի ճշգրիտ լինի: Դա անելու ամենահեշտ ձևը պարզապես մի քանի x արժեքներ միացնելն է ձեր գագաթի երկու կողմերում, այնուհետև գծեք այս կետերը ՝ օգտագործելով ձեր ստացած y արժեքները: Հաճախ ուսուցիչները ձեզանից կպահանջեն որոշակի քանակությամբ միավորներ հավաքել, նախքան ձեր պարաբոլան նկարելը:

• Եկեք վերանայենք x հավասարումը² + 2x + 1. Մենք արդեն գիտենք, որ դրա միակ x ընդհատումը x = -1 է: Քանի որ այն միայն մի կետում է դիպչում x ընդհատմանը, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ դրա գագաթը նրա x միջանցքն է, ինչը նշանակում է, որ դրա գագաթն է (-1, 0): Այս պարաբոլայի համար մենք արդյունավետ ունենք միայն մեկ կետ. Եկեք գտնենք ևս մի քանիս ՝ ճշգրիտ գրաֆիկ գծելու համար:

  • Եկեք գտնենք y արժեքները հետևյալ x արժեքների համար ՝ 0, 1, -2 և -3:
  • 0 -ի համար f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Մեր կետն է (0, 1).

  • 1 -ի համար f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Մեր կետն է (1, 4).

  • -2 -ի համար: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Մեր կետն է (-2, 1).

  • -3 -ի համար f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Մեր կետն է (-3, 4).

  • Այս կետերը գծեք գծապատկերին և գծեք ձեր U- ձևի կորը: Նկատի ունեցեք, որ պարաբոլան հիանալի սիմետրիկ է. Երբ պարաբոլայի մի կողմում ձեր միավորները ընկած են ամբողջ թվերի վրա, սովորաբար կարող եք ինքներդ ձեզ խնայել որոշակի աշխատանքով ՝ պարզապես արտացոլելով տվյալ կետը պարաբոլայի համաչափության առանցքի վրայով ՝ համապատասխան կողմը գտնելու մյուս կողմից: պարաբոլայի մասին:

Տեսանյութ - Այս ծառայությունից օգտվելով ՝ որոշ տեղեկություններ կարող են կիսվել YouTube- ի հետ:

Խորհուրդներ

• Նշենք, որ f (x) = ax- ում² + bx + c, եթե b կամ c հավասար է զրոյի, այդ թվերը անհետանում են: Օրինակ ՝ 12x² + 0x + 6 -ը դառնում է 12x² + 6, քանի որ 0x- ը 0 է:
• Կլորացրու թվերը կամ օգտագործի՛ր կոտորակները, ինչպես քեզ ասում է հանրահաշվի ուսուցիչը: Սա կօգնի ձեզ ճիշտ պատկերել ձեր քառակուսային հավասարումները: